数学の勉強法

編集長のひとこと

目次 1、数学の勉強法や特徴 2、単元別勉強法 2-1、数Ⅰ ①数と式 ②二次関数 ③集合と論理 2-2、数A ①場合の数と確率 ②整数の性質 2-3、数Ⅱ ①方程式・式と証明 ②三角関数 ③指数関数・対数関数 ④微分・積分 2-4、数B ①数列 ②ベクトル 数3 ①関数と極限 3、志望校レベル別参考書 3-1、基礎固め 3-2、日東駒専・産近甲龍レベル 3-3、MARCH 関関同立 地方国公立レベル 3-4、旧帝大 早慶上理レベル

目次
1、数学の勉強法や特徴
2、単元別勉強法
2-1、数Ⅰ
①数と式
②二次関数
③集合と論理

2-2、数A
①場合の数と確率
②整数の性質

2-3、数Ⅱ
①方程式・式と証明
②三角関数
③指数関数・対数関数
④微分・積分

2-4、数B
①数列
②ベクトル

数3
①関数と極限

3、志望校レベル別参考書
3-1、基礎固め
3-2、日東駒専・産近甲龍レベル
3-3、MARCH 関関同立 地方国公立レベル
3-4、旧帝大 早慶上理レベル

1、全体の勉強法や特徴

今回は数学の勉強法を中心に、それに伴うお勧めの参考書を紹介していきます。
高校の頃、数学が苦手な人が多いかもしれません。模試を受けても数学が足を引っ張ってしまい、英語、化学のプラス分を数学がプラマイゼロにしてしまうということもあるかもしれません。

この記事では、具体的な数学の勉強方法を紹介していきます。

数学の点数を伸ばすために最も必要なことは、解いたことのある問題のストック数を増やすということです。
言い換えると、試験が始まって全く見たことがなく、類題を解いたことがない、という問題をできるだけ減らすということです。

もちろん、全ての問題を自分の頭にストックすることは非常に大変ですが、このことを意識しながら問題を解くと、自然と頭に入るようになります。

具体的なやり方としては、繰り返し同じ問題を解くことです。

みなさんの高校時代や中学時代を振り返ってみてください。一度解いた問題はそのままにしておき復習をあまりしていない、なんてことはありませんか。一回解いたし、解説も聞いたし、復習はしなくてもいいや、と解釈していませんか。
しかし、これは大きな間違いです。

一度解いて解説を聞いた問題はその日のうちに復習しなくてはなりません。問題文を見て、先生が解説していたように自分で解糖を作れるか、実際に手を動かして考えなくてはなりません。
意外と手が止まってしまい、最後までたどり着く方が珍しいことに気づきます。その日で最後まで到達しないのであれば、全く復習しない場合には本番で使える知識になっているわけがありません。
このことから、とにかく同じ問題だからと言って軽く見ず、真摯に復習をし、その問題の解き方をストックすることが最も効果的な勉強方法と言えます。

2、単元別勉強法

2-1、数Ⅰ

①数と式

この範囲は基礎の基礎で、具体的な勉強法は問題を解いて、計算力をつけるしかありません。逃げ道や近道はなく、ただただ問題を解いてください。この範囲がおろそかな人は、今後の数学の伸びも期待できないのでなにがなんでも得意にしてください。

②二次関数

二次関数の範囲では、紙に書いてある式を実際にグラフに示す作業が出てきます。この作業は、数学で関数が出てくるたびに必要になることから、しっかりとマスターしてください。具体的な勉強法は、式を正確にグラフに示せるようにすることです。X軸はどこか、Y切片はどこか、どの点を通るのかなど、式からグラフへと書き表せるようにしましょう。また、逆の作業もできるようにしておきましょう。
地味な作業ですが、全ての関数の基礎になるので、甘く考えずにしっかりと解きましょう。

③集合と論理

集合とは、ある法則を持つ数字を選んでくると表現することができます。例えば、自然数のうち10以下の偶数をあげよ、という問題が出たとします。この場合10以下の自然数が全体の集合となり、その中から偶数を選ぶことになりますね。
このように、集合と論理では数を計算するというよりも、数の本質を考える範囲になります。そのため、頭を違った方法で使わなければならず、苦手な人が出てきやすくなります。
ふだん、私たちは数字を使って論理的な話をしないと思います。慣れてない分、この範囲が重荷になりやすくなります。
しっかりと、基礎から問題を解いていき足固めから始めましょう。

2-2、数A

①場合の数と確率

確率の分野は、センター試験に出題されたり、文系学部でも出題されたりと品種範囲です。また、さいころやコイン、トランプなどという身近な物が出てくるため親しみやすい範囲になります。しかし、親しみやすいからと言って簡単かというと、この範囲もある程度の解き方を知っている必要があります。
場合の数と確率は基本的な考え方は同じになります。場合の数の中から、特定のことが起こる場合を確立として表現しています。
もちろん、解き方を知らなくても解けますが、とても時間内には終わりません。
例えば、コイン3枚の裏表の組み合わせのうち、全てが表になる確率は数えて求めることができます。
しかし、コイン100枚の裏表の組み合わせのうち、2枚だけ表になる確率を求めよ、という問題は数えていてはそれだけで時間が終わってしまいます。
このことから、ある程度の正攻法を勉強しておく必要があり、力技を使うときと正攻法で攻めるときの使い分けを学びましょう。

具体的な勉強法としては、形式ごとに分かれた問題を解きましょう。確率の問題にはいくつかのパターンがあり、それに従いながら、1つ1つの範囲を克服していきましょう。

②整数の性質

整数問題は簡単な問題から、難しい問題まで様々です。また、とくに学ぶこともないので、自分でひたすら問題を解いていく必要があります。
しかし、整数問題は経験が必要であり、ここで何を使うのか、どのような展開で解糖を進めていくのか、力技で数え上げたらできるのか、など考えることはたくさんあります。

効果的な学習方法としては、専用の問題集を購入し1冊をきちんと仕上げることをおすすめします。
「整数の性質」の範囲は、問題集の隅に申し訳ない程度で載せられているだけで、普通の問題集だけでは力を伸ばしにくいです。そのためにも専用の問題集を買いましょう。

2-3、数Ⅱ

①方程式・式と証明

この分野の出題頻度は他の範囲に比べると落ちますが、それでも出た場合には差がついてしまう範囲になります。私も高校時代は苦手意識があったので何となく避けていました。

不等式や等式の証明の際には、確認しなければならないことが多く、経験を積む必要があります。確認事項の例としては、式変形をするときに、両辺をXでわるとします。しかし、この時にXが0でないことを確認し、断っておく必要があります。
0で数を割ることは、数学の世界では禁止事項になっています。数学の先生もかなり口を酸っぱくするほど注意喚起するほどです。

0であることが確定でない場合には、0でない時と、0の時で場合分けをして論理を進めなければなりません。
このように、いちいち確認することが多いので、問題数をこなしていきましょう。また、解答を見る際にも、漠然と写すだけではなくなぜこのタイミングでこれをするのか、この場合にはこのような断りをするのか、などと解答を作っている人の意図をくみ取るようにしましょう。

②三角関数

三角関数の基本は何と言っても、サイン、コサイン、タンジェントです。主な勉強法としては、この3つの関係性をマスターするところから始めましょう。この3つは常にかかわりを持っており、それはグラフ上に円を書いたときにもわかると思います。
この範囲で重要なことは、式が表すことと、グラフ上の円が表すことがリンクしていることを意識することです。
式は式、グラフはグラフで考えていても、なかなか力にはなりません。式を見てこれはどんなグラフなのか、このグラフを式で表したらどうなるのかを常に考えましょう。
サイン、コサインの式は、高校物理の波動の範囲でも出てきますので、しっかりと勉強しておくといいです。

③指数関数・対数関数

この範囲は中堅大学の式変形問題としてよく出題されます。
指数関数と対数関数を織り交ぜた式を、大問1で解かせるケースがよくありますよね。

この分野ではまずは基礎的な式変形を学習しましょう。式変形ができなければ、ほとんど何もできません。計算が苦手な人は計算練習をしてください。計算力は数学の問題を解くうえであって当然と言われるので、計算力がないから解けませんは論外です。

ある程度の計算力がついてきたら、三角関数と同様に式とグラフを関連つけましょう。この式はグラフでどんな形をするのかな、と常に考えておくと数3の範囲が非常に楽になります。

④微分・積分

微分、積分の問題は非常によく出題される範囲の一つであり、ある程度のレベルまで溶けるようになっておかなくてはなりません。
微分では、微分公式を用いた証明問題や、複雑な計算問題、グラフ作成問題などがあります。積分では曲線や縁で囲まれた面積を求める問題や不等式の証明問題、積分から漸化式を作る問題など多数あります。
具体的な勉強法としては、基本的な微分、積分から確認しましょう。
微分は2点間の変化量を限りなく小さくするときの傾き表しています。このことは微分の最初に出てきますが、当たり前すぎて読み飛ばしてしまう人も多いと思います。
この概念は発展問題でも問われることがあるので、十分に自分の言葉で説明できるようにしておきましょう。
また、微分と積分は非常に近い範囲なので、微分の勉強中にも積分を学ぶことができます。微分の式変形をしているときにも、この式を積分したらどうなるのか、意識しておくと同時に計算力を挙げることができるのでお勧めです。

2-4、数B

①数列

数列の問題も非常によく出る範囲です。数列と聞くと「1,3,5,7・・・」というように簡単な数列もありますが、ここを基礎としてかなり高度な問題にまで発展します。
入口のレベルが低い分、上級問題になるとレベルがかなり上がるため得意になるためには数多くの問題をこなさなくてはなりません。
数列の難しいところは理解しやすい仕組みを使って、難しい問題を自分の発想によって解かなくてはならないところにあります。
この発想とは、その場でひらめくこともありますが、どちらかというと自分の経験した問題の数がカギになります。このことから、数列の主な勉強法としては、ひたすらに問題を解き、問題の解き方をストックしていく方法がお勧めです。一見するとめんどくさそうですが、慣れてくれば解きやすさも指数巻子的に向上していくので、我慢して解いていきましょう。そんな時間がないという人は、5分だけ考えて方針が浮かばなければ、すぐに答えを見て、発想の展開方法を写し、その日のうちに再チャレンジをして問題の解き方をストックさせると効率的に進めることもできます。

②ベクトル

この範囲は非常に難しいです。先にはっきりと言っておきますが、中途半端に勉強すると何が何だか分からなくなってしまいます。
具体的な勉強法としては、基礎をしっかり固めることと、順を追って問題のレベルをゆっくりあげていくことがあります。
基礎固めは他の範囲と同様に、自分の解答と解説を比べながら進んでください。
そして2つ目の順を追ってレベルをゆっくりあげるということについて説明します。
ベクトルの問題は、1つレベルが上がるとそれだけで煩雑になり、難しくて解けないということが多いです。途中までは何となくわかるけど、その先は何をすればいいのかわからない、という状況に陥りやすいです。
問題を解くときはレベルを少しずつ上げて、同じレベルの問題なら全部解けるようになった、という段階まで到達してから問題レベルを上げるようにしましょう。ベクトルの範囲は他の分野よりも、十分に樹幹をかけて学習していってください。

数3

①関数と極限

関数の範囲では合成関数や逆関数が出題されます。
逆関数や合成関数は一見すると難しいのですが、ある程度経験を積めば応用問題でも解けるようになっていきます。また、出題頻度としてはあまり高くないので、そこまで時間をかけずに手早くこの範囲を終わらせてしましましょう。

極限では、主に数列や数式の極限を扱います。主な学習法としては、何度も言っているように式とグラフをしっかりとリンクさせることにあります。例えば、Y=1 / Xの式は皆さん、想像できますか。この時Xを無限に発散させたときYの値はどうなりますか。これはグラフを見れば一目瞭然で、Xの値が大きくなればなるほど、Yの値が限りなく0に近づいていくことが分かります。式場で考えても答えは出せますが、複雑な関数の極限を求めるときほど、グラフで考えると分かりやすくなることが多いです。

3、志望校レベル別参考書

3-1、基礎固め

模試の偏差値で50を下回ってしまった人や、校内テストで下位30パーセントになってしまった人は、まずは基礎固めから始めましょう。
数学が苦手な人もいると思いますが、ただやってないだけという人もいるかもしれません。そういう人のためにも、取り掛かりやすい参考書を紹介します。

おすすめ参考書は以下の二つになります。
・白チャート 数学、数研出版
・シグマベスト 高校これでわかる数学、文英堂

この2冊はよく知られた有名な問題集の一つです。白チャートは、本当に数学が分からに人向けで、取り組みやすい問題集となります。問題もそこまで難しいものはなく、題材となる問題の下に解答・解説が添えられています。
問題を見て分からなければすぐに解答を読んで学習していきましょう。

シグマベストは、フルカラーで解説がしっかりとしています。分かりにくい式変形でも、フルカラーなので飽きずに読み進めることができます。数学が苦手な人にとって見れば、数学の参考書を開くことすら嫌になってしまうと思うので、まずは開いてみましょう。

3-2、日東駒専・産近甲龍レベル

このレベルの大学に合格するためには、基礎問題から標準問題をしっかりと解ける必要があります。基礎固めをしておけば、他の基礎がおろそかになっている人が脱落していくのでどんどん上に行けるはずです。

基礎を固めつつ、標準問題も解くために、こちらの参考書をおすすめします。
・黄色チャート、数研出版
・シグマベスト、理解しやすい数学、文英堂
・細野真宏の数学が本当によくわかる本、小学館

黄色チャートは、白チャートの1つ上のレベルの参考書になります。形式は変わりませんが、扱う問題のレベルが全体的に上がります。基礎ができていないと解けない問題も多く、この参考書を使うことで自分の基礎力をチェックすることができます。
もちろん、白チャートを使っていて、なんとなく手ごたえがないという人は、黄色チャートに途中でスイッチしてもいいと思います。
また、どうように、途中で青チャートにスイッチするのも構わないです。この範囲は黄色、この範囲は青、というように使い分けるのもいい選択です。
しかし、受験終盤では、スイッチはせずに同じ色のチャート式を使うようにしましょう。スイッチをするなら高校3年の夏前までには完了させましょう。

シグマベストは、先ほども言いましたようにフルカラーページでとても読みやすくまとめられています。収録問題数も1分野あたり20から30問と比較的取り組みやすい形です。レベルとしては、難しい問題もありますが、基礎から標準レベルの問題を解くには最適な問題集と言えます。

細野真宏さんの本は、分かりやすさに特化し、読み進めやすい形式になっています。この参考書を使いながら問題集を解き進めると効率的に力を伸ばせます。本自体は1週間ほどで読み終わらせることができるので、何回も読みかえ品仮名確実な力をつけていきましょう。

3-3、MARCH 関関同立 地方国公立レベル

MARCHや関関同立の問題では難しくて解けない問題が多い、というよりも、標準問題が多数用意された中で、時間内にどれだけ早く正確に解けるかが勝負になります。
このことからも、日ごろの演習量が大きく影響してきます。

偏差値55~60の学生さんにおすすめの参考書はこちらです。
・青チャート、数研出版
・カルキュール数学、駿台文庫
・良問プラチカ、河合出版

青チャートは先ほど紹介した黄色、白の上のレベルになります。収録問題のレベルは、初見で解ける問題もあれば、途中までしか進めないような問題もあり、標準から発展レベルの問題が収録されています。基本的な進め方としては、題材となっている問題を解き、解説を読み、類題を解き、解説を読むという流れになります。

復習の頻度としては、分からなかった問題にはチェックをしておき、3~4日後にもう一度解くといいでしょう。できることなら、間違えたその日に読むだけでもいいので再び解き方をおさらいしておくと知識の定着が効率よく行えます。

カルキュール数学は一般的な参考書よりも難しくはなっていますが、MARCHレベルを目指す人が解いておけば、合格に近づけるはずです。
問題掲載数も数1・A、2・B、3の三冊どれもが200題ほどで構成されており、短期的に数学力を上げることができます。
数学の標準問題と発展問題を時間内に正確に解けるようにしておきましょう。

プラチカは青チャートに並ぶ有名な問題集であり、数多くの人に愛用されています。解説が非常に丁寧で、問題ページよりも多いことが特徴です。
解説では、式変形が飛ばされていることも少なく、丁寧な論理展開であることから回答を読んでいるだけでも勉強になります。

3-4、旧帝大 早慶上理

この大学レベルになると、受験者のレベルが変わってきます。この層には国立医学部を狙う人や、東大、京大を狙う人々が滑り止めとして入ってくるために、合格するためには、発展レベルでは足りず、発展問題を組み合わせた融合型超発展問題レベルを解いておく必要があります。
融合型とは、簡単に言うと、問題一つに対して複数分野の要素が取り込まれているということです。例えば、3次関数の曲線を利用しつつ、そこに漸化式などが含まれ、最終的には極限値を求めさせる問題などです。
このような問題は、一般的な問題集で収録されていないことから、より高度な問題集を使わなくてはなりません。

おすすめの参考書を紹介していきます。
・赤チャート、数研出版
・月刊、大学への数学
・○○大の数学△カ年(難関校過去問シリーズ)、数学社

赤チャートは今までの白、黄色、青とは一味異なり、かなり難しい問題が収録されています。白チャートがどれだけ簡単なのか、赤チャートを見ればわかると思います。
赤チャートはとにかく、ハイレベル校の過去問を集めており、題材となる問題もすぐには解けず、ある程度の時間が必要になります。
また、章の最後にある章末問題もかなりハイレベルになっています。

赤チャートを高3の始まり頃から解き始めれば夏休み中に高校数学の発展レベルを全て網羅することができるので、その後の模試成績や受験を有利に進めることができます。

月刊の大学への数学は、かなりのおすすめです。本当に数学が好きな人か、数学を伸ばしたいと強く思う人しか手を出さない参考書なので、十分に吟味してから買ってみましょう。しかし、私はこの参考書のおかげでかなり成績が伸びたと思います。

基本的な構成は雑誌のようになっていて月ごとにテーマが分けられそれに関連する問題がレベルごとに出されています。基礎から標準、発展問題が用意され、各20題ほどあります。発展レベルになると、解けに問題も多くなりますが、時間を決めその時間内は頭をフル回転させながら解くと、かなり力がついていきます。
また、参考になるコメントも添えられているので、テスト中にそのいとこと注意を思い出したりすることもありました。
後ろの方には、大学への数学の出版社の方が独自で作成しているオリジナル問題があり、かなり難しいです。
しかし、この問題を、時間を計って解くことにより、早慶、旧帝レベルの数学の試験を疑似体験することができると思います。

「○○大学△カ年」の問題集は大学の過去問を網羅しています。志望校が決まっている人は早めに解き始めることをおすすめします。大学の傾向も知ることができますし、自分にどの分野の力が足りていないのかを認識することができます。

全体を通して、このレベルを受験する人におすすめする勉強方法は、疑似的な試験を自分で行ってください。
疑似的な試験とは、実際に自分で時間を計り、解く問題をピックアップします。解けなかった問題でもいいですし、解き方は分かるけど書くのが大変な問題、自分が気に入っている問題など、選考基準は何でもいいですが何問か選んでください。例えば、2時間半で5問解答する大学を受験する人は、それに従って、2時間半で5問のセットを解いてください。
これをやることによって1題にどれだけかければいいのか、考える時間はどれだけあるか、どの順番で解こうかなど、実戦でしか味わえない間隔を体験することができます。

この経験も本番で大きく役に立つはずなので試してみてください。

さて、いかがでしたでしょうか。各分野の勉強法やおすすめの参考書を紹介してきました。数学の力をつけるのは簡単ではありませんが、一歩一歩着実にレベルを上げていってください。目の前の問題に全力で取り組み、復習をして、どんどん自分の中に問題のストックを増やしていきましょう。

この記事を書いた人

香西

大学受験テラス塾長

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